推荐系统中的相似度模型

Item-based CF

基于 user-item 评分矩阵，利用 cosine 或者 Pearson correlation 来计算 item 间的相似度。user $u$ 对 item $i$ 的评分估计值为：

其中 $\mathcal{R}_{u}$ 是 user $u$ 所有评分过的 item 集合，$s_{i j}$ 是 item $i$ 和 item $j$ 的做了标准化后的相似度。

这种方法直接、易行，但是在相似度的度量上，由于矩阵的稀疏性，相似度计算效果不是特别好，推荐质量不够高。

矩阵分解

矩阵分解的策略是将 user-item 评分矩阵分解为两个低秩的稠密矩阵:

在推荐时，可以使用 user 的向量乘上 item 矩阵，得到该 user 对所有 item 的评分的估计值，然后得出推荐结果。

但是当 user 与新的 item 产生交互时，user 和 item 的向量应该发生变化。尤其是对 user 而言，要想具有实时性，user 最近的交互信息就一定要能够影响 user 的向量。但是矩阵分解的方法没法做到这种实时性。

利用分解得到的 item 矩阵，也可以计算 item 之间的相似度，而且比直接用 user-item 评分矩阵来计算相似度效果更好。因此矩阵分解也可以用在传统的 item-based CF 中，用于计算 item 间的相似度。

SLIM (Sparse LInear Method)

论文 SLIM: Sparse Linear Methods for Top-N Recommender Systems 中提出一种方法直接学习出 item-item 间的相似度矩阵。

在约束条件下，最小化下式中的 $L$ :

其中 $S \in \mathbb{R}^{I \times I}$ 是 item 间的相似度矩阵，加入 L2 正则是为了避免过拟合，加入 L1 正则化是希望相似度矩阵尽可能地稀疏，因为相似的 item 不应该很多。$S \ge 0$ 是因为相似度应该介于 0~1 之间。$diag(\mathbf{S})$ 则是要求 item 和自己的相似度为 0。

利用 user-item 评分矩阵中已有的评分数据来上上式最小化，可以学习得到一个相似度矩阵 $S$。

SLIM 模型的缺点很明显，矩阵 $S$ 的规模很大，训练起来很慢。另外只有 item $i$ 和 item j 同被一个 user 评分过，$S_{ij}$ 才能得到学习。

FISM (Factored Item Similarity Model)

出自论文 FISM: Factored Item Similarity Models for Top-N Recommender Systems。

如果将 item-item 相似度矩阵分解为两个低秩矩阵相乘，即 $S = PQ$。那么 item $i$ 和 item $j$ 之间的相似度表示为 $sim(i,j)=p_i · q_j^T$。

如此以来 user $u$ 对 item $i$ 的评分可以表示为：

$b_u$ 和 $b_i$ 为 user 和 item 的 bias，其中 $\mathcal{R}_{u}$ 是 user $u$ 所有评分过的 item 集合，这里采用的可能是隐式反馈，集合中的 item 的评分都是 1，这是为啥没有评分值 $r_{ui}$ 的原因。

优化目标为：

NAIS (Neural Attentive Item Similarity)

论文 NAIS: Neural Attentive Item Similarity Model for Recommendation 在 FISM 的基础做了改进，加入了 Attention 机制。

这里作者将 $p$, $q$ 都视为 item 的 Embedding，作者认为用户评分过的 item 的 Embedding 的均值可以作为 user 的 Embedding。这样以来评分 $\hat{y}_{u i}$ 的计算就很直接了，user embedding 乘上 item embedding 即可。

想象一下，如果 item 是一个衣服，那么在表示用户时，用户购买的衣服的信息就更重要一些。所以这里给用户评分过的 item 加一个权重，加权得到用户的 embedding。

加入 Attention 之后对评分值得估计就变成了这样：